MIT 카지노 이기기(펌...)

카지노게임 중 블랙잭은 운만이 아닌 확률이라는 점을 잘 인식할 것이다.

아인슈타인은 확률을 구하는 것을 무척 꺼렸다고 한다. 그 이유는 우주의 절대자가 만든 세계속에 절대적 답만이 존재한다는 이유에서였다. 아마도 아인슈타인이 블랙잭을 한다면 정확히 21이 되는 수학적 구조만을 다루지 않았을까 한다. 나중에는 이러한 생각의 지속이 뜨는해인 양자역학에 대해 지는해로 아인슈타인을 만들었다고 볼수도 있겠다. (내 짧은 생각은 이렇다. 원주율 ‘파이’를 구하는 방법은 여러 가지이다. 우리가 보통알고있는 방법들이 있다. 그런데.. 확률로써도 구할수 있다. 원형 다트를 맞추는 게임에서 기댓값을 통해 구할수도 있다. 하지만 눈에보이는 정확한 파이는 없다.. 그두사이 빠져나간다.)

자 이제 카지노를 습격하러 떠나보도록 하자.

우리의 가장 큰 관심사는 카지노게임에서 손님이 승리하느냐 하우스가 승리하느냐이다. 결론은 하우스가 더 유리하다. 이것을 이해하기 앞서 하우스 어드벤테이지를 설명하겠다.
하우스 어드밴티지란, 카지노의 규칙대로 게임을 하는 평균적인 플레이어에 대해 카지노가 얼마만큼의 확률적 우위를 지니는 가를 계산해 놓은 것이다.

-카지노가 궁극적으로 플레이어의 돈을 따는 가장 근본적인 원인은, 카지노측이 자신들에게 유리하게 끔 하우스 어드밴티지를 사전에 미리 정하여서 게임을 운영하기 때문이다.
경마의 한 경주당 경마장측이 누리게 되는 확률적 우위는 약 30% 정도로 알려져 있다. 다시말하면, 한 경주에 총 100만원이 배팅되었을 경우, 그 경주에서 플레이어들에게 환급금의 형태로 재분배되는 금액은 70만원이고 나머지 30만원은 마사회측이 세금 및 각종 운영비용등의 명목으로 사용하게 된다는 것이다.

그렇기 때문에 카지노에서는 하우스가 더 유리하다.
이것을 기본으로 생각한 후 카지노를 생각해보자.
카지노는 크게 독립확률게임과 조건확률게임으로 나눌수 있다. 학창시절 누구나 독립확률과 조건확률에대해서 배워서 잘알겠지만 다시한번 설명하겠다.

독립확률은 처음 일어 난 상황과 나중 나타날 상황이 별개로 이뤄지는 상황 즉 서로 연관성이 없는 확률을 말하며, 조건확률은 처음 일어 난 상황의 영향을 받아 나중의 상황이 나타나는 확률을 말한다. 즉 과거가 미래에 영향을 미친다. (갑자기 영화 메멘토가 연상이된다.^^;)

카지노에서 카드를 사용하여 게임하는 블랙잭, 바카라, 또는 슬럿머신처럼 프로그램에 의하여 나타나는 기계게임들은 조건확률에 속하는데, 카드를 사용하고 있으나 포카처럼 1덱(Deck-카드의 한몫) 으로 게임을 끝내고 다시 셔플Shuffle(섞는것) 하여 시작하는 게임은 독립확률에 속한다.
그리고 카지노에서 행해지는 나머지 게임들 룰렛, 다이사이, 크랩스, 빅휠,등은 독립확률에 속한 게임들이다.

-----잠깐 노트------------

카지노는 제로섬 게임이다. 제로섬 게임이란 다 합쳐서 0이 된다는 의미인데, 이긴 사람과 진 사람이 합하면 그대로가 된다는 뜻이다. 얼마전 이동통신 업체들이 시장점유율을 둘러싼 제로섬 게임에서 벗어나 시장 자체의 파이를 키우는 쪽으로 경쟁구도를 변화시킬 것으로 기대한다고 했다. 하지만 카지노의 경우 따는 사람이 있으면 잃는 사람이 반드시 있기 마련이다. 제로섬 게임 전략에 관한 책들도 있다.

------------------------

좀 더 구체적으로 설명을 한다면,

조건확률의 게임은 카드를 슈(Shoe카드 여러몫을 넣고 사용하도록 만든 구두모양의 도구) 에 넣고 1장씩 나오게 하여 게임을 진행하는 것이다.

예를 들어 카드의 기본 순서인 A2345678910JQK까지 13장의 카드를 골고루 섞어서 슈에 넣고 차례대로 게이머가 돌아가면서 1장씩 뽑는 게임을 하는데 A자를 뽑는 사람이 이기는 게임을 한다고 가정하면, 제일 처음 뽑는 사람은 13분의 1(7.69%)의 확률로 카드를 뽑는데 그가 A자를 뽑지 못하였을 때, 두 번째 사람은 12분의 1(8.33%)의 확률이 되는 것처럼 앞사람이 A자를 뽑지 못하면 뒷사람은 A자를 뽑을 수 있는 기회가 점점 유리해 진다는 것을 알 수 있다. 그러므로 조건확률에 의한 카드게임은 슈에 남은 카드의 숫자에 의하여 게임의 승률이 게이머한테 유리해 질 수도 있다는 것을 알아야 한다.

슈 안에서는 카드를 만들 수 없고 바꿀 수도없으니 딜러가 셔플을 하여 슈에 넣은 카드는 변함없이 차례대로 나오게 되어 있다.
그러므로 게임에 사용한 이전 카드들의 숫자를 안다면 전체카드의 숫자에서 사용한 카드를 빼면 남은 카드를 예측할 수 있다.

이것이 카드 카운트의 요령이고, 확률을 자신에게 유리하게 적용시킬 수 있는 방법이다. 카운트를 하여 확률이 자신에게 불리하다면 베팅을 줄여서 손해를 최소화 하고, 반대로 확률이 유리하다면 베팅을 높여서 이익을 극대화 할 수 있다.
예전에 MIT 수학과 교수를 주축으로 한 수학 천재들의 카지노 무너뜨리기란 실화가 책으로 소개되어 베스트셀러가 되었었다. 이들이 사용했던 방법이 바로 카드카운팅이다. 이책의 내용은 아래와 같다.

워 맥이라는 보안시스템 전문가는 과거 카드카운터로 여러 카지노를 공략한 인물이다. 이제는 사업차 카지노를 방문하게된다. 워 맥의 본명은 케빈 루이스.. 그는 학창시절 수학과 과학에 집중했다. 수학이 사람의 능력을 측정하고 수학만이 성공의 지배자라 믿었다. 그리고 역시 수학이 케빈에게 항상 기회를 제공했다. 사립고등학교에서 MIT로 그리고 블랙잭까지.. 케빈을 눈여겨 본 친구들은 MIT블랙잭팀에 케빈을 끌어들인다.

“각자 10만달러라, 카드게임으로...”

케빈은 첫 블랙잭 팀을 보고나서 자신도 팀의 일원이 되기를 결심한다.
16살에 입학허가를 받아 역사상 최연소로 mit를 입학한 도박의 귀재 , 미키로사
미키로사는 블랙잭을 공략하는 기법인 카드카운팅의 황금기에.. 활동을 한 전문도박사로 mit전직 교수이다. 그는 얼굴이 알려져 더 이상 활동을 할수 없게 되자 .. 팀을 조직하여 .. 뒤에서 조종을 한다. 그에게 블랙잭은 사업이자 동시에 하나의 종교였다.

미키는 mit강의실에 모의 카지노를 만들어 놓고 팀의 일원이 된 케빈을 훈련시켰다. 그들은 로빈후드라고 생각하며 압제자로부터 돈을 해방시킨다.는 생각도 해본다.
케빈은 카지노의 단점을 걱정한다. 이 복잡한 카운팅기법을 쓰더라도 승률이 낮고 엄청난 자금이 필요하다. 그리고 카지노가 쉽게 카드 카운터를 알아차린다.는 것이다.

이에대해 미키는 투자자와 플레이어를 따로하고 팀을 조직하여 .. 각자의 역할을 맡김으로서 단점을 극복하고 엄청난 이익을 올리게된다. 카운트 수가 높은 테이블을 알아내어 빅플레이어게 알려주는 스포터는 꼼꼼히 . 모든 승률과 기타 데이터베이스를 작성한다. 그리고 고릴라는 스포터의 신호를 받고 확률이 높아진 테이블에 끼어 연기를 하면서 돈을 펑펑 배팅을 한다. 빅플레이어는 스포터와 고릴라의 역할을 모두한다. 이들은 신호들과 동작 암호를 정하여.. 팀플레이로서 카지노의 단점을 극복한다.

물론 이 모든 것이 불법적인 것은 아니지만.. 카지노측에 걸리면 쫒겨나며 협박을 받게된다.
케빈은 사랑하는 여자친구와 헤어지게 되고 초호화 생활을 하면서.. 유명인들도 만나고 VIP대접을 받으며 여색을 즐기고 방탕한 생활도 하게된다.

그러면서.. 항상 갈등을 느끼게 되는데.. 그 방탕하고 호화로운 생활속 사람들을 보면서 나는 이렇게 계속 이중 생활을 해야 하나 고민한다. 케빈의 회귀본능이 발동한것이다.
MIT카지노팀은 그 팀을 처음부터 만들었던 미키를 배반한다. 그 이유는 돈의 분배와 미키가 다른팀들도 운영하고 있기 때문에 생긴 충돌에서였다. 그러나 미키없이 팀을 운영하다가 그만 카지노에 정체가 드러나게 된다. 카지노에서 걸린 후 변장을 하였지만 다시 카드카운터를 잡는 사설탐정에게 걸리게 된다. 이 팀이 2일에 벌 수 있는 2만5천달러에 누군가가 사설탐정에게 팀정보를 판것이다.


케빈은 국세청으로부터 조사를 받게 되었고 케빈이 가는 카지노에는 얼굴사진이 팩스로 떴으며 협박또한 감수해야했다.

카운터로서 카지노가 고용한 사설탐정에게 알려짐으로써 팀은 위기에 봉착한다. 그리고 팀은 분열된다.
“하지만 어쩔수 없다는 거 알잖아 mit혼돈이론, 우리같이 너무 똑똑하고 사회성이라고는 눈꼽만치도 없는 사람들이 모여 있으면 언젠가는 혼돈이 돌아오잖아”
. 여기서 어느 수학자가 말한 문구가 생각난다. 수학을 하는 사람들은 항상 사회성, 도덕성을 생각해야 한다는 피셔와 케빈을 중심으로 새로운 팀으로 갈라진다.

케빈의 팀은 나름의 전략을 구사하여.. 상당한 수익을 올리게 된다.
하지만 피셔의 팀과 같은 카지노에서 만나게 된다. 어제의 동지가 오늘의 라이벌이 되어서 상막한 대화가 오간다.
그 후 케빈은 라스베거스를 떠나게되고 나중에 다시 시스템 보안전문가로서 사업가로서 카지노를 찾게된다.

-----------------------책속의 말---------------

“보이지 않는 카드를 추측하지 말라 “

“이성과 감각사이 ”

자주색 칩이었다. “당신네들이 내게 준 선물이오. 이젠 돌려줄 때가 된 것 같소.”

“그를 미치게한 것은 카드카운팅을 가능케 해주고 수학 그 자체의 아름다움이었다.“

“아마추어 노름꾼들은 흔히 블랙잭의 목적이 가능한 최상의 패를 쥐는 것이라 생각하기 쉬운데. 진짜 목적은 딜러의 패를 눌러 이기는 것일 뿐이다.”

“단 두판에 10만 달러를 잃다니 ”

“순수하고 세상물정 모르는 사람처럼 연기해야한다. ”

“만일 그들이 네게 떠나라고 요청하면 그냥 떠나라“

-------------------------------------------------------------

책을 보던중.. 눈길이 가던 부분이 두가지 있었다. 하나는 한국이란 단어가 나온다는 점이고 다른 하나는 수학자들에 의해 만들어진 카지노 감시카메라의 식별기능이다. 한국이란 단어가 종종 나온다. 빅플레이어인 마르티네즈는 로버트 킴이라는 가명을 쓰면서 한국계행세를 하며 한국이야기를 하게된다. 이는 한국이나 일본등 동양서온 억만장자의 2세로 보이기 위해서이다. 카지노에서는 동양계사람들만이 고액 배팅을 하며 젊다고 해도 의심을 받지 않는다고 한다. 동양인은 도박 광으로 묘사되고 있다. 는 점에서 좀 씁씁하다.

우선은 합리적이지 못하여.. 감정적 배팅을 주로 한다는 소리이고, 한국인 억만장자 2세로서 의 노블리스 오블리제란 단어를 떠오르게 한다는 점이 또 한가지이다.

케빈이 나중에 사업가로써 카지노 보안 시스템 전문가로서 카지노를 찾았을때 감시카메라에대해서 나온다. 테러분자등 위험 인물들을 인공위성으로 찾아낼때 쓰기위해 수학자들이 만든 기술인데. 개개인이 가지고 있는 얼굴 특징은 수학적 데이터로 바꾸고 이 데이터는 막대한 데이터 베이스에 저장된 사진들과 비교하여 원하는 사람을 찾는다고 한다. 약간의 모습이 사진에 찍히면 그것으로 수학적 데이터로 바꾸어 알아낸다는 것이다. 얼굴에서 나는 열을 이용하기도 하고 습관이나 귀모양으로도 사람들을 구분하고 찾아낸다고 한다. 물론 수학자들로 인하여 보다 안정됨을 추구할수도 있으나 반면에 개인의 프라이버시를 침해할수 있다는 생각도 든다. 1998년작 영화 에너미 오브 스테이트를 연상케 하는 부분이다.

이 책의 내용이 헐리우드에서 영화화 된다고 한다. 그런데 카운팅에 대한 처음 만들어지는 영화는 아니다. 82년도에 이미 비슷한 내용이 영화로 나와있다.
원제는 Stacy"s Knights 이고 짐 월슨 감독이고 케빈 코스트너의 데뷔작이기도 하다..

그럼 사설은 그만두고 카드카운팅에 대하여 분석해 보도록 하겠다.
카지노 게임중에서 유일하게 블랙잭만은 플레이어의 게임 운영 및 배팅 조절 등을 통해서 하우스 어드밴테이지를 줄일 뿐 아니라 마이너스로 만드는 것까지도 가능하다는 것이 입증되었다.

블랙잭 게임에 대한 확률론적인 접근은 1950년대부터 진행되어왔다. 주로 수학자나 통계학자들의 연구대상이었던 블랙잭의 확률에 대한 논의는 1960년대에 미국의 쇼프(Edward O. Thorp)교수가 펴낸 ‘딜러 이기기‘라는 책을 통해 대중화 되었다.

이책은 기존의 통념을 완전히 뒤업는 새로운 게임 운용전략과 카드 카운팅 전략을 제시함으로써 당시만해도 카지노측에 열세를 면치 못했던 수많은 블랙잭 플레이어들에게 카지노를 이길수 있다느 사실을 입증해 주었다.

(이당시는 1덱으로 카지노를 하였고 인디케이트 카드도 없었다는 것을 유념바람...)

블랙잭은 21맞추기 게임이라고도 하는데 딜러와 플레이어의 패(핸드)중에서 21에 가까운 쪽이 이기는 게임이다. 21을 초과하게되면(버스트) 21이하의 패에 무조건 지게된다.

블랙잭 게임의 수를 한번 읽어보자.

3♣4♠ =7

10♠K◆ = 20

J,Q,K는 10으로 하며, A는 1도될수 있고 11도 될 수 있다.

A◆J♣ = 11+10 블랙잭 이라고 하며 21이다.

2♣3♥10♣8♣ = 23이되어 버스트 상대가 21이하이면 상대가 이긴다. 이와같이 2장부터 더받을수 있다.

카드를 더 받고 싶으면 테이블을 손가락으로 똑똑 두 번 두드리면 되고(HIT) 추가로 카드가 필요 없으면 그냥 손을 두어번 좌우로 흔들면 된다.(STAY)

딜러의 규칙은 간단하다. 17이상이 될때까지 무조건 카드를 받고 17-21사이인 경우 더 이상 카들를 받을수 없다.

카드 1덱을 기준으로 특정카드 한 장이 제외된 상태에서 블랙잭 플레이어가 기본전략대로 게임을 하는 경우에 하우스 어드밴티지가 어떻게 변화하는지 계산해 알수 있다.

특정카드 한 장이 제외된 경우 하우스 어드벤티지의 변화

ㅇ 카드 : 2 (-0.38) 3 (-0.44) 4 (-0.55) 5 (-0.69) 6 (-0.46) 7 (-0.28) 8 (+0.28) 9 (+0.18) 10(+0.51 A(+0.61)
* ( )는 하우스어드벤테이지의 증감 을 이야기함
ㅇ 플레이어에 유리한 카드 : 2,3,4,5,6,7,
ㅇ 0(동일함) : 8
ㅇ 딜러에 유리한 카드 : 9,10,A

아직 사용하지 않은 카드 중에서 낮은 숫자의 카드가 많으면 카지노측에 유리하고(낮은 숫자의 카드가 많이 남아 있으면 딜러의 버스트 가능성은 그만큼 낮아지고,플레이어는 21 에 가까운 숫자를 만들 가능성이 낮아진다. ), 반대로 9,10,A등 높은 숫자의 카드가 많을 수록 플레이어에게 유리해진다는 것이다. (이유는 플레이어가 확률적 우위를 가지게 된다. 우선 , 블랙잭의 가능성이 높아진다. 물론 딜러도 블랙잭 가능성이 높아지나 규칙상 딜러는 배팅금액만 가져가나 플레이어는 배팅액의 1.5배를 가져갈수 있고 더블다운을 하면 2배까지 가져갈수 있다. 그리고 딜러는 17이 될 때까지 버스트가 되는 한이 있어도 무조건 카드를 받아야 하지만 플레이어는 상황에 따라서 스테이를 할수 있다. )

카드셔플 직후부터 카운팅을 시작한다. 게임 중간에 들어가는 경우는 가능하면 최소배팅으로 그 슈가 끝날때까지 기다린 다음 새로운 셔플 이후에 카운팅을 적용해야한다. 만약에 MIT수학 천재들의 카지노 무너뜨리기 책처럼 누군가 카운팅 해주고 있다가 확실한 카운팅수가 나왔을때 신호를 주면 모를까..

이제 하이로우 카운팅(‘MIT수학천재들의 카지노무너뜨리기‘ 책에나온것)에 대해서

말하겠다. 다음과 같이 숫자에 각 +1 0 -1 과 대응시킨다. 그러면 항상 모두 합한 것이 0이된다.

ㅇ 로우카드군 : 2(+1), 3(+1), 4(+1), 5(+5), 6 (+1)
ㅇ 미들카드군 ; 7 (0), 8(0), 9 (0)
ㅇ 하이카드군: 10 (-1), A(-1)

모든 카드의 카운팅 값은 항상 0 이 된다.
모평균 (모집단 분포의 위치를 나타내는 대표값)
M = 1/n (x1+x2+...+xn) 이것을 0이되게 만들어 놓았다.

㉮3♠2♥5♣8◆ 7♣9♥= +1 +1 +1 0 0 0 = +3

나온다음

㉯7♠6♥4♣8◆10◆ = 0 +1 +1 0 -1 = +1

가. 이전에는 0이었다고 하고 마지막 몇장 남지 않은 상황에서 +4라는 숫자가 카운트 되었다. 모두 합치면 0이 되어야 하므로 앞으로 -4에 해당하는 10, A중 4장이 반드시 나오게 되어있다.

이것이 카운팅이다.

그러므로 앞으로 나올 숫자를 높은 확률로 알게 되었다. 이상황이 된 다음부터는 무조건 고액배팅을 하여 .. 승리를 거두게 된다.

예를 들어 +17이란 카운팅 지수가 있을때 여덞판이 남았다고 하면.. 나머지 -17이 반드시 나오는 것이 확실하므로 이것은 결정적 기회이므로 높은 베팅을 통해 수익을 극대화(울트라왕대박) 할수 있다.

이로써 카운팅에 대한 개략적 이야기를 하였다. 도박을 부추기는 이야기로 듣지를 않기를 바란다. 돈을 벌수 있는 기회로도 생각지 말기를 바란다. 생활에서의 수학적 사고로 긍정적 결과의 도출이 가능하다는 생각을 바란다.

이제 카운팅 이야기는 여기까지 하고 독립확률에 의한 게임을 알고 가자

동전 던지기는 독립확률의 대표선수이다. 이동전을 던져서 앞면과 뒷면이 나오는 확률은 바로 전에 던져서 나온 확률과 전혀 연관성이 없다. 실제로 동전을 열 번 던졌을 때 사람들이 예측하는 것과는 상관없이, 뒷면이 4번만 나올 수 도 있고 때로는 두 번만 나올 수 도 있으며 심지어 앞면만 수십 번이 나올 수도 있다는 것이다. 동전의 앞면만 수십 번이 나왔을 때 사람들은 흔히 다음에는 뒷면이 나올 것이라 예측하는 경우가 많다. 왜냐하면 연속으로 뒷면이 수십번 계속 나와야지만 50%의 확률에 근사하게 접근할 수 있다고 믿기 때문이다. 많은 게이머들이 이와 비슷한 착각 때문에 룰렛이나 다이사이(주사위) 게임에서 다음엔 나오겠지 하는 오기로 베팅 이 점점 커져서 순식간에 밑천을 날리는 경우를 많이 보아 왔다.

독립확률은 동전 천 번을 던져서 천번 모두 앞면만 나왔다고 했을 때, 그 다음 동전을 던졌을 때 뒷면이 나올 확률은 변함없이 50:50이라는 것이다. 동전 던지기는 앞으로 나올 확률과 그 뒤에 있었던 일과는 전혀 연관성이 없는 독립시행 게임인 것이다.

------------------------------------잠깐노트-------

확률의 공리

공리 1. 0≤P(E)≤1

공리 2. P(S)=1

공리 3. i≠j 일때, EiEj=공집합인 사건들(서로 배반인 사건)에 대해서,

∞ ∞

P(∪Ei)=∑ P(Ei)

i=1 i=1

주사위를 던지는 실험에서 6개의 면 모두가 동등하게 나타난다고 가정하면, P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6})=1/6이 된다. 공리 3으로부터 짝수가 나올 확률은 P({2,4,6})=P({2})+P({4})+P({6})=1/2


--------------------------------------------------


그럼 룰렛의 경우는 어떨까

처음 공을 굴려서 행운의 숫자인 7이 나왔다고 가정했을때, 7이 두 번 연속 나올 확률은 1/38번호*38번호=1/1444이며 세 번 연속으로 나올 확률은 1/54821이로고 해아할까? 7이 세 번 연속으로 나왔다고 하더라도 그 다음 7이 나올 확률은 변함없이 1/38인 것이다.

룰렛도 동전던지기와 같이 첫 번 게임이 완전히 끝나야 두 번째 게임이 또 다시 시작되기 때문이다. 룰렛의 공을 돌려서 그 공이 포켓 Pocket룰렛휠의 번호판에 칸칸히 번호가 적혀 있는 곳 에 들어 갈 확률은 여전히 38분의 1인 것이다. 같은 수가 게속 연속으로 나오는 확률과 그 다음에 나올 수 있는 단 한번의 확률은 위에서 보는 것과 같이 엄청나게 다른 차인 것이다.
룰렛게임은 독립확률 게임이다. 그러므로 어떤 특정한 색이나 숫자가 연속으로 몇 십 번 나왔더라도 다음에 나올 색과 숫자의 확률은 여전히 1/38로 동일하다는 것을 잊지말기 바란다. 왜냐면 1억원어치 복권을 구입해도 또 당첨된다는 보장이 없으니까 카지노도 절대적으로 이와 같이 생각하여야 한다.

이렇게 모든 카지노 게임은 작게는 0.2%에서 많게는 24.07%로 하우스가 이기게끔 만들어져 있다.

여러분은 매 게임마다 위와같은 %의 대가를 치루고 게임에서 이기고 지고 하는 것이다. 카지노에서 식음료를 무료로 게이머들한테 제공하는 것이 아닌 것을 이제 알게 되었으리라 믿는다.

끝으로 앞에서 조건확률에 대한 이야기로 카드 카운팅을 이야기 했는데 일단 실력이 있어야 한다. 실력이 마련된 이후 확률적 전략을 구사하여 유리하게 이끌어야 한다. 예를들어 안드레 아가시가 테니스 경기가 있기 전날 두 다리를 다쳐서 휠체어를 타고 경기를 한다고 가정해보자.. 누구나 이 경기에서 상대선수가 된다면 우승확률이 엄청 높아진다. 우승이확실 하다고 할 정도이나.. 운동은 평생 해보지도 않았고 더군다나 테니스는 관심조차 없이 수십년을 살아온 아저씨가 경기를 한다면 서브만으로 아가시가 이기는 쪽에 도박사들은 돈을 걸 것이다..
그리고 독립확률일 경우 한번 좋은 운이 나왔다고 또 좋을거라는 편견을 가지지 말기를 부탁한다. 또 나쁘다고 항상 나쁠거라는 편견도 통하지 않는다. 이점을 항상 유념하며 게임활용에 도움이 되기를 바란다.